Matriz Inversa - Método de Gauss-Jordan

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1.1 Transformaciones elementales por fila de una matriz

La matriz inversa es un tipo especial de matriz para la solución de problemas que pueden representarse con sistemas de ecuaciones lineales. Para determinar la matriz inversa de una matriz $A$ , ésta debe ser una matriz cuadrada.

Definición

Una matriz

$A$ cuadrada (orden

$n$ o

$nxn$ ) es una matriz invertible o regular, si existe otra matriz

$B$ del mismo orden, que cumpla la operación:

$AB=BA=I$

La matriz resultante

$\displaystyle I$ del producto de las matrices A y B, es una matriz identidad del mismo orden que A y B (

$\displaystyle nxn)$ . En este caso, la matriz

$\displaystyle B$ se considera como la matriz inversa de

$\displaystyle A$ y se denota

$\displaystyle A^{-1}$ . Si la operación anterior no se cumple, la matriz

$A$ se llamará matriz singular o matriz no invertible.

Existen 3 métodos principales para encontrar una matriz inversa:

Método directo para matrices de 2×2.
Método de Gauss-Jordan.
Determinantes con adjunta.

Método de Gauss-Jordan.

En éste método se utilizan transformaciones elementales por renglones para generar una nueva matriz compuesta por la matriz $\displaystyle A$ a invertir y una matriz identidad $\displaystyle I$ del mismo orden.

La nueva matriz se llama Matriz Aumentada y a ésta se le aplican las transformaciones elementales por renglón para encontrar la matriz inversa.

Para una matriz $\displaystyle A_{( nxn)}$ , se genera su matriz aumentada $\displaystyle ( A_{nxn} |\ I_{nxn})$ y mediante transformaciones elementales por renglón se debe encontrar la matriz aumentada $\displaystyle ( I_{nxn} |\ B_{nxn})$ , donde la matriz $\displaystyle B_{nxn}$ será la matriz inversa de $\displaystyle A$ , es decir, $\displaystyle A^{-1}$ .

Transformaciones elementales por fila de una matriz

La transformaciones elementales son:

Multiplicar o dividir una fila por un número k diferente de cero.
Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
Intercambiar dos filas.

Transformaciones Elementales

Nota: El proceso de aplicar transformaciones elementales con renglones se llama reducción por fila o renglones.

Proceso – Método de Gauss-Jordan

Paso 1 . Generar la matriz aumentada de $A$ con su matriz identidad $I$ del mismo orden $n$ y aplicar transformaciones elementales entre filas para conseguir que del lado izquierdo de la matriz aumentada se obtenga la matriz identidad:

Ejemplo:

Paso 2. Obtener en la primer entrada $a_{11}$ el número 1:

Paso 3. Utilizar $a_{11}$ como pivote para convertir en cero las entradas de esa columna debajo del 1, es decir, con transformaciones elementales de fila se convertirán en cero los valores de las entradas $a_{21}$ y $a_{31}$ :

Paso 4 Convertir el valor de la siguiente entrada $a_{22}$ de la diagonal principal a 1:

Paso 5. Convertir a 0 las entradas que se encuentran arriba y debajo de $a_{22}$ , utilizando $a_{22}$ como pivote:

Paso 6. Convertir el valor de la siguiente entrada $a_{33}$ de la diagonal principal a 1:

Paso 7. Convertir a 0 las entradas que se encuentran arriba y debajo de $a_{33}$ , utilizando $a_{33}$ como pivote:

Una vez obtenida la matriz identidad del lado izquierdo, la matriz del lado derecho es la inversa de $A:A^{-1}$ .

Nota: Si al obtener los elementos de la matriz identidad, un renglón o columna del lado derecho en la matriz aumentada tiene en todas sus entradas ceros, entonces la matriz

$A$ no es invertible y es singular.

Ejercicios Propuestos

Ver Solución

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Referencias

Builtrago A., R. (2009). Álgebra Lineal. Universidad Militar Nueva Granada. Colombia
Grossman S., S. I. (2008). Álgebra Lineal. 6ta Edición. University College London. McGrawHill
Páez P., C. (2013). Matrices y Sistemas Lineales. 1era Edición Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Kolman, B., R. Hill, D. (2006). Álgebra Lineal. 8va Edición. Pearson.

Antonio E.P. Heredia

Academia

Lic. en Física (UAM I), Ing. en Sistemas Computacionales (IPN-ESCOM), Lic. en Matemáticas (UNADM), Lic. en Filosofía (UACH), Lic. en Estadística (UNACH), Lic. en Psicología (UNAM – Iztacala), Lic. en Mercadotecnia y Ventas (URC), Lic. en Derecho (BUAP), Lic. en Biología (UNAM – FAC Ciencias), Lic. en Diseño Gráfico y Animación Digital (UAT), Lic. en Inteligencia Artificial (UAEM) y cursando Maestría en Ciencias de la Complejidad (UACM).

Industria

Desarrollador de Sistemas (Web) Sr., Systems Analyst Sr. y profesor de Matemáticas/Física/Computación.

“Most people would sooner die than think; in fact, they do so.” — Bertrand Russell

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Matriz Inversa – Método de Gauss-Jordan

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