La Suma de un número par de números impares es par

Posted on by Antonio E.P. Heredia

El título de éste artículo corresponde a la proposición 22 del libro IX del tratado matemático y geométrico “Los Elementos” de Euclides de Alexandria.

Es un teorema que afirma el hecho de que cuando se realiza la suma de una cantidad par de números impares, el resultado es un número par.

En palabras de Euclides:

Si sumamos tantos números impares como nos plazca, ,y su multitud es par, el total es par.Euclid

Comenzando con un ejemplo sencillo, comprobamos que la suma de dos números impares es par:

3+5=8

Comprobando que la suma de 4 números impares resulta en un número par:

3+5+7+9=24

Por último, se comprueba que la suma de 6 números impares resulta en un número par:

3+5+7+9+11+15=50

Los anteriores ejemplos proveen una noción útil sobre la validez de la proposición, sin embargo, no son suficientes para afirmar que la proposición es correcta, por lo que es necesario demostrar formalmente el teorema.

Teorema
La suma de una cantidad par de números impares es par
Demostración
Sea I=\{a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n}\} un conjunto de números impares con n=2m,\ \exists m\in \mathbb{Z}

Por definición de número impar, el conjunto I se puede expresar como:

I=\{2i_{1} +1,2i_{2} +1,...,2i_{n} +1\}, en donde \forall k\in \{1,2,...,n\} :\ \ a_{k} =2i_{k} +1







Referencias

  1.  Sir Thomas L. Heath (1926) . Euclid: The Thirteen Books of The Elements, Volume 2 (2nd Edition)
Contenido elaborado por Antonio Enrique Pérez Heredia. CEFYM © 2021Licencia de Creative Commons
Este obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
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