Integral con Suma de Riemann

A continuación se describe el sencillo proceso para resolver un límite que pareciera muy desgraciado y difícil (pero realmente no lo es), aplicando el concepto de suma de Riemann para llegar a la forma de una integral definida:

Solución:

Analizando suma

El límite se aplica a una serie finita de términos en donde el primero es $\displaystyle \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}$ y el segundo es $\displaystyle \left(\frac{n}{n+2}\right)^{2}$ ; es posible ver que en el numerador la $\displaystyle n$ no cambia y en el denominador la suma va incrementando de manera consecutiva hasta llegar a los términos $\displaystyle \left(\frac{n}{2n-1}\right)^{2}$ y $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$ .

Considerando que sólo el número entero que se le suma a la $\displaystyle n$ en el denominador es el que incrementa, se tiene una suma desde $\displaystyle i=1$ hasta $\displaystyle i=n$ , de tal forma que cuando $\displaystyle i=1$ se tiene el primer término $\displaystyle \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}$ y cuando $\displaystyle i=n-1$ , se tiene el penúltimo término $\displaystyle \left(\frac{n}{n+( n-1)}\right)^{2} =\left(\frac{n}{2n-1}\right)^{2}$ .

Entonces se puede expresar la serie en términos de notación sigma como una suma parcial $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{n}{n+i}\right)^{2}$ , equivalente a $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\right)^{2}$ al dividir numerador y denominador entre $\displaystyle n$ .

Relación con suma de Riemann

Por otro lado, en una suma de Riemann se tiene el ancho de los subintervalos de una partición regular como $\displaystyle \upDelta x=\frac{b-a}{n}$ y el valor muestra en cada subintervalo como $\displaystyle x_{i}^{*} =x_{i} =a+i\upDelta x$ .

En éste caso se eligen arbitrariamente los valores más simples (de manera conveniente tomando en cuenta la expresión del límite) para los extremos de una partición regular del intervalo $\displaystyle [ a,b]$ como $\displaystyle a=0,b=1$ y se tiene: $\displaystyle \upDelta x=\frac{b-a}{n} =\frac{1-0}{n} =\frac{1}{n}$ , por lo que $\displaystyle x_{i} =\frac{i}{n}$ .

En la expresión de la suma parcial $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\right)^{2}$ se identifica la función $\displaystyle f( x_{i}) =\left(\frac{1}{1+x_{i}}\right)^{2}$ . De éste modo, se tiene el límite cuando $\displaystyle n\rightarrow \infty$ de la suma parcial:

Integral Definida

Se obtiene la integral definida de la función sobre el intervalo $\displaystyle [ 0,1]$ a partir del límite de la aproximación de la suma de Riemann:

Sea $\displaystyle u=1+x\Longrightarrow du=dx$ , con límites de integración de $\displaystyle u=1$ a $\displaystyle u=2$ :

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Antonio E.P. Heredia

Academia

Lic. en Física (UAM I), Ing. en Sistemas Computacionales (IPN-ESCOM), Lic. en Matemáticas (UNADM), Lic. en Filosofía (UACH), Lic. en Estadística (UNACH), Lic. en Psicología (UNAM – Iztacala), Lic. en Mercadotecnia y Ventas (URC), Lic. en Derecho (BUAP), Lic. en Biología (UNAM – FAC Ciencias), Lic. en Diseño Gráfico y Animación Digital (UAT) y cursando Maestría en Ciencias de la Complejidad (UACM).

Industria

Desarrollador de Sistemas (Web) Sr., Systems Analyst Sr. y profesor de Matemáticas/Física/Computación.

“Most people would sooner die than think; in fact, they do so.” — Bertrand Russell

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