Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - EDOs - Lineales de Primer Orden - 3 caminos

Por Antonio E. P. Heredia

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A continuación se presentan 3 formas de abordar la solución general de las ecuaciones diferenciales ordinarias del tipo primer orden lineales no-homogéneas:

Definición

Una ecuación diferencial ordinaria, de ahora en adelante EDO, de primer orden lineal es de la forma:

$\displaystyle a_{1}( x) y'+a_{0}( x) y=h( x)$

Con $\displaystyle a,a_{0}$ y $\displaystyle g$ definidas sobre un intervalo $\displaystyle ( a,b)$ . Si $\displaystyle g( x) =0$ , entonces la EDO es lineal homogénea, pero si $\displaystyle h( x) \neq 0$ para algún $\displaystyle x_{0} \in ( a,b)$ , es no-homogénea.

Por otro lado, si $\displaystyle a_{1}( x) \neq 0,\ \forall x\in ( a,b)$ , se obtiene la forma “estándar” de la EDO no-homogénea como:

$\displaystyle y'+p( x) y=q( x)$ ,

donde $\displaystyle p( x) =\frac{a_{0}( x)}{a_{1}( x)}$ y $\displaystyle q( x) =\frac{h( x)}{a_{1}( x)}$ . Por lo que, si la EDO es homogénea, se tiene la forma:

$\displaystyle y'+p( x) y=0$ ,

la cual es posible solucionar por el método de “separación de variables” de la siguiente forma:

Siendo $\displaystyle y_{c}$ la solución general de la EDO homogénea.

Solución general de EDO no-homogénea

Primer Camino

Para obtener la solución general de la EDO no-homogénea se requiere un procedimiento más cuidadoso, considerando la propiedad importante de que su solución es la suma de dos soluciones $\displaystyle y=y_{c} +y_{p}$ en donde $\displaystyle y_{c}$ (a veces denotada $\displaystyle y_{h})$ es la solución general de la EDO homogénea asociada y $\displaystyle y_{p}$ es una solución particular de la EDO no homogénea.

Al utilizar el método “variación de parámetros”, se propone una solución particular, similar a la solución general de la EDO homogénea, en donde la constante de $\displaystyle y_{c}$ es precisamente lo que se varía sustituyendo por el “parámetro variable” $\displaystyle v( x)$ (con $\displaystyle y_{c} =cy_{1}$ , se propone $\displaystyle y_{p} =vy_{1}$ ):

$\displaystyle y_{p} =v( x) e^{-\int p( x) dx}$

Derivando la anterior expresión obtenemos:

$\begin{align*} y_{p} ' & =v( x) e^{-\int p( x) dx}[ -p( x)] +v'( x) e^{-\int p( x) dx} \end{align*}$

Y al sustituir la solución particular propuesta, con su derivada en la EDO no-homogénea, se tiene:

$\displaystyle v( x) e^{-\int p( x) dx}[ -p( x)] +v'( x) e^{-\int p( x) dx} +p( x) v( x) e^{-\int p( x) dx} =q( x)$

Simplificando:

En donde al integrar $\displaystyle v'( x)$ no se pierde generalidad, dado que la solución general $\displaystyle y$ (que se busca) compuesta por $\displaystyle y_{c}$ , ya contiene la constante arbitraria que le da carácter general a la expresión y además $\displaystyle v( x)$ es “utilizada” para construir una solución particular de la EDO no-homogénea, por lo que en la integración de $\displaystyle v'( x)$ su constante arbitraria es “descartada” y se determina de manera conveniente a $\displaystyle C=0$ .

Sustituyendo $\displaystyle v$ en $\displaystyle y_{p}$ se tiene:

$\begin{align*} y_{p} & =e^{-\int p( x) dx}\int q( x) e^{\int p( x) dx} dx \end{align*}$

Se verifica que

$\displaystyle y_{p}$ es una solución particular de la EDO no-homogénea:

$\displaystyle e^{-\int p( x) dx} q( x) e^{\int p( x) dx} +e^{-\int p( x) dx}[ -p( x)]\int q( x) e^{\int p( x) dx} dx+p( x)\left[ e^{-\int p( x) dx}\int q( x) e^{\int p( x) dx} dx\right] =q( x)$

Así:

La forma de la solución general de la EDO no-homogénea es:

Segundo Camino

Una alternativa para encontrar la solución general de una EDO no-homogénea, es obtener la solución “no-trivial” (con $\displaystyle C=1)$ de la EDO homogénea asociada $\displaystyle y_{1}$ y proponer la solución general: $\displaystyle y=vy_{1}$

Derivando la expresión se tiene:

$\begin{align*} y' & =vy'_{1} +v'y_{1} \end{align*}$

Sustituyendo en la forma estándar de la EDO no-homogénea:

$\begin{align*} vy'_{1} +v'y_{1} +p( x) vy_{1} & =q( x)\\ v'y_{1} +v[ y'_{1} +p( x) y_{1}] & =q( x) \end{align*}$

Es posible notar, considerando que $\displaystyle y_{1}$ es solución de la EDO homogénea asociada, que $\displaystyle y'_{1} +p( x) y_{1} =0$ , obteniendo:

$\begin{align*} v'y_{1} & =q( x)\\ \int dv & =\frac{q( x)}{y_{1}}\\ v & =\int \frac{q( x)}{y_{1}} dx+C \end{align*}$

Y sustituyendo en la expresión de la solución general buscada, con $\displaystyle y_{1} =e^{-\int p( x) dx}$ :

$\begin{align*} y & =\left[\int \frac{q( x)}{y_{1}} dx+C\right] y_{1}\\ & =Ce^{-\int p( x) dx} +e^{-\int p( x) dx}\int q( x) e^{\int p( x) dx}\\ & =y_{c} +y_{p} \end{align*}$

Notando que se sustituye la solución general de la expresión que involucra $\displaystyle v'( x)$ en la solución general propuesta para la EDO no-homogénea.

Tercer Camino (el más fácil)

Se observa que la forma de la solución general obtenida, al ser multiplicada por $\displaystyle \mu ( x) =e^{\int p( x) dx}$ y posteriormente ser diferenciada, resulta en:

$\begin{align*} \mu(x) y & = C \mu(x) e^{-\int p(x) \, dx} + \mu(x) e^{-\int p(x) \, dx} \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx \end{align*}$

$\displaystyle e^{\int p( x) dx} y=Ce^{\int p( x) dx} e^{-\int p( x) dx} +e^{\int p( x) dx} e^{-\int p( x) dx}\int q( x) e^{\int p( x) dx}$

Simplificando:

$\begin{align*}e^{\int p(x) \, dx} y & = C + \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx \\\frac{d}{dx}\left[ e^{\int p(x) \, dx} y\right] & = q(x) e^{\int p(x) \, dx} \\e^{\int p(x) \, dx} y' + e^{\int p(x) \, dx} p(x) y & = q(x) e^{\int p(x) \, dx}\end{align*}$

Al multiplicar por $\displaystyle \mu ^{-1}( x)$ , se obtiene la forma estándar de la EDO:

$\begin{align*} y'+p( x) y & =q( x) \end{align*}$

Es fácil ver que un método para resolver ésta EDO es realizar los pasos anteriores en orden inverso de tal manera que al multiplicar a la EDO en su forma estándar por $\displaystyle \mu ( x)$ e integrar posteriormente, se obtiene la solución general buscada.

Es por lo anterior que a $\displaystyle \mu ( x)$ se le conoce como factor integrante.

Cabe mencionar que al utilizar el factor integrante, en éste se descarta la constante de integración debido a que $\displaystyle \mu ( x)$ es único para cualquier constante multiplicativa diferente de cero, en el sentido de que al multiplicar $\displaystyle \mu ( x)$ por una constante distinta de cero, no cambia su propiedad esencial de lograr simplificar la EDO no-homogénea para obtener su solución general.

Aún más claro, se ve que al agregar una constante de integración, se tiene:

$\begin{align*} \mu ( x) & =e^{\int p( x) dx+c} =e^{c} e^{\int p( x) dx} =Ae^{\int p( x) dx} \end{align*}$

Y multiplicando por la EDO no-homogénea, tenemos:

$\begin{align*}A e^{\int p(x) \, dx} y' + A e^{\int p(x) \, dx} p(x) y & = A e^{\int p(x) \, dx} q(x) \\A (e^{\int p(x) \, dx} y' + e^{\int p(x) \, dx} p(x) y) & = Ae^{\int p(x) \, dx} q(x) \\e^{\int p(x) \, dx} y' + e^{\int p(x) \, dx} p(x) y & = e^{\int p(x) \, dx} q(x) \\d\left[e^{\int p(x) \, dx} y\right] & = e^{\int p(x) \, dx} q(x) \, dx \\\int d\left[e^{\int p(x) \, dx} y\right] & = \int e^{\int p(x) \, dx} q(x) \, dx \\e^{\int p(x) \, dx} y & = \int e^{\int p(x) \, dx} q(x) \, dx + C\end{align*}$

Finalmente:

$\begin{align*} y & = \frac{1}{e^{\int p(x) \, dx}} \left[ \int e^{\int p(x) \, dx} q(x) \, dx + C \right] \end{align*}$

Extra – Demostración/Prueba

Teorema

Sea la ecuación diferencial ordinaria no-homogénea

$\displaystyle y'+yp( x) =q( x)$ , si la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada es

$\displaystyle y_{c}$ y una solución particular de la EDO no-homogénea es

$\displaystyle y_{p}$ , entonces su solución general es la suma de ambas

$\displaystyle y=y_{c} +y_{p}$ .

Dem.

$\begin{align*}(y_c + y_p)' + (y_c + y_p) p(x) & = q(x) \\y'_c + y'_p + p(x) y_c + p(x) y_p & = q(x) \\(y'_c + p(x) y_c) + y'_p + p(x) y_p & = q(x)\end{align*}$

Se tiene que $\displaystyle y'{c} +p( x) y{c} =0$ , al ser $\displaystyle y_{c}$ la solución general de la EDO homogénea asociada, la igualdad resultante se cumple debido a que se estableció anteriormente que $\displaystyle y_{p}$ es una solución particular de la EDO no-homogénea: $\displaystyle \begin{aligned} y'{p} +p( x) y{p} & =q( x) \end{aligned}$

Es posible concluir que $\displaystyle y=y_{c} +y_{p}$ es la solución general de la EDO no-homogénea.

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Referencias

Carballo J., J.M. (2019). Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. IPN
Kiseliov, A., Krasnov, M. L., Makarenko, G., & Bernardo, E. A. (1968). Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir.
Zill, D. G. (2016). Differential equations with boundary-value problems. Cengage Learning.

Antonio E.P. Heredia

Academia

Lic. en Física (UAM I), Ing. en Sistemas Computacionales (IPN-ESCOM), Lic. en Matemáticas (UNADM), Lic. en Filosofía (UACH), Lic. en Estadística (UNACH), Lic. en Psicología (UNAM – Iztacala), Lic. en Mercadotecnia y Ventas (URC), Lic. en Derecho (BUAP), Lic. en Biología (UNAM – FAC Ciencias), Lic. en Diseño Gráfico y Animación Digital (UAT) y cursando Maestría en Ciencias de la Complejidad (UACM).

Industria

Desarrollador de Sistemas (Web) Sr., Systems Analyst Sr. y profesor de Matemáticas/Física/Computación.

“Most people would sooner die than think; in fact, they do so.” — Bertrand Russell

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One thought on “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias – EDOs – Lineales de Primer Orden – 3 caminos”

Vampiro Esimio dice:
mayo 19, 2024 a las 7:28 pm
los tres métodos son bastantes buenos, los usare cuando tenga que resolver mis ejercicios cotidianos de EDO, gran aportación
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Por Antonio E. P. Heredia

Solución general de EDO no-homogénea

Extra – Demostración/Prueba

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